≡× МЕНЮ

• Гаджеты
• Android
• Windows
• Ios
• Блог

Логические основы работы компьютера логические операции. Логические основы работы компьютера

У
чебный элемент

Тема: «Логические основы обработки информации.» - 9 -

Предмет: «Информатика»

Изучив данный учебный элемент, Вы узнаете:

о принципах обработки информации компьютером;

логические основы работы компьютера:

основные логические операции;

логические схемы элементов компьютера;

примеры решения задач по данной теме.

Оборудование, материалы и вспомогательные средства:

персональный компьютер;

мультимедиа проектор;

презентация урока;

раздаточный материал.

Сопутствующие учебные элементы и пособия:

Учебник И.Г. Семакин, Т.Ю. Шеина, Л.В. Шестакова – 10 класс

Логические основы обработки информации основаны на Логике

Логика – это наука о формах и способах мышления.

Основные формы мышления

1. Высказывание

   Умозаключение

Понятие – это форма мышления, фиксирующая основные, существенные признаки объекта.

Высказывание – это форма мышления, в которой что-либо утверждается или отрицается о свойствах реальных предметов и отношениях между ними. Высказывание может быть либо истинно, либо ложно.

Умозаключение – это форма мышления, с помощью которой из одного или нескольких суждений(посылок) может быть получено новое суждение (заключение

В алгебре высказываний высказывания обозначаются именами логических переменных, которые могут принимать лишь два значения: «истина»(1) и «ложь»(0)

К базовым логическим операциям относятся:

Логическое умножение (конъюнкция) – «И»

Логическое сложение (дизъюнкция) – «ИЛИ»

Логическое отрицание (инверсия) – «НЕ»

Логическое умножение «И» на формальном языке принято обозначать значком «&» либо «^». Пример: высказывание F=A & B

Таблица истинности логического умножения

Пример. «2*2 =4 И 3*3 =10» по таблице определяем (А = 1), (В = 0), значит F = 0 – данное высказывание ложно

Логическое сложение «ИЛИ» на формальном языке алгебры логики обо значают «+» либо «v»

Пример: высказывание F=A V B

Таблица истинности логического сложения

		F=A V B

Пример: «2*2 = 4 ИЛИ 3*3 = 10» по таблице определяем (А = 1), (В = 0), значит F = 1 – данное высказывание истинно

Логическое отрицание в алгебре логики обозначают Ā

Пример: F = Ā

Таблица истинности логического отрицания

Таблица истинности - Импликация (логическое следование )

Таблица истинности - Эквивалентность (равнозначность)

Компьютер выполняет арифметические и логические операции при помощи так называемых базовых логических элементов , которые также еще называют вентилями.

Вентиль «И» – конъюнктор
Реализует конъюнкцию

Вентиль «ИЛИ» – дизъюнктор
Реализует дизъюнкцию

Вентиль «НЕ» – инвертор
Реализует инверсию

Любая логическая операция может быть представлена через конъюнкцию, дизъюнкцию и инверсию.

Любой сколь угодно сложный элемент компьютера может быть сконструирован из элементарных вентилей.

Вентили оперируют с электрическими импульсами:

Импульс имеется – логический смысл сигнала «1»

Импульса нет – логический смысл сигнала «0»

Н
а входы вентиля подаются импульсы – значения аргументов , на выходе вентиля появляется сигнал – значение функции

Пример.

Сумматор двоичных чисел

Все математические действия в компьютере сводятся к сложению двоичных чисел. Основу микропроцессора составляют сумматоры двоичных чисел

Триггер

Важнейшая структурная единица оперативной памяти и регистров процессора. Состоит из двух логических элементов «ИЛИ» и двух логических элементов «НЕ»

Логическая схема триггера

Работа триггера

В обычном состоянии на входы триггера S и R подан сигнал «0» и триггер хранит «0».

При подаче сигнала «1» на вход S триггер принимает значение на выходе Q значение «1»

При подаче сигнала «1» на вход R триггер возвращается в свое исходное состояние – хранит «0».

Построение таблиц истинности логических выражений

При вычислении значения логического выражения (формулы) логические операции вычисляются в определенном порядке, согласно их приоритету:

инверсия

конъюнкция

дизъюнкция

импликация и эквивалентность

Для изменения порядка действий используются скобки.

Самостоятельная работа

Задание 1

Выполнить логические операции:

(1 v 1) v (1 v )

((1 v 0) v 1) v 1

(0 v 1) v (1 v 0)

(0 & 1) & 1

1 & (1 & 1) & 1

((1 v 0) & (1 & 1)) & (0 v 1)

((1 & 0) v (1 & 0)) v 1

((1 & 1) v 0) & (0 v 1)

((0 & 0) v 0) & (1 v 1)

Задание 2

Построить таблицу истинности для логического выражения:

A & (B v B & C)

Задание 3

Доказать, что логические выражения A & B иA v B равносильны.

Контрольные вопросы

Дать определение науке «Логика».

Назвать логические операции.

Как изображаются логические схемы?

Рассказать о работе триггера.

Иванилова Т.С.

Липецкий политехнический техникум

Логика – наука, изучающая законы и формы мышления. Алгебра логики это математический аппарат, с помощью которого записывают, упрощают, преобразовывают и вычисляют логические высказывания. Это раздел математики, который изучает высказывания с точки зрения их логических значений и логических (операций)связок. Впервые АЛ, как математический аппарат возникла в середине 19 века в трудах английского математика Джорджа Буля и с тех пор носит название «булева алгебра».

Логическое высказывание это любое повествовательное предложение, в отношение которого можно сказать однозначно истинно оно или ложно. Рим – столица Италии (истина), 5 – четное число (ложь). Кроме того, в АЛ используются и сложные высказывания, которые содержат несколько простых мыслей, соединенных между собой (связками) логическими операциями.

Каждая логическая связка рассматривается как операция над логическими высказываниями и имеет свое название и обозначение:

НЕ - Операция, выражаемая словом "не", называется отрицанием и обозначается чертой над высказыванием (или знаком ). Высказываниеистинно, когда A ложно, и ложно, когда A истинно. Пример. "Луна - спутник Земли" (А); "Луна - не спутник Земли" ().

И - Операция, выражаемая связкой "и", называется конъюнкцией (лат. conjunctio - соединение) или логическим умножением и обозначается точкой " " (может также обозначаться знакамиили &). Высказывание А. В истинно тогда и только тогда, когда оба высказывания А и В истинны. Например, высказывание: "10 делится на 2 и 5 больше 3" истинно, а высказывания: "10 делится на 2 и 5 не больше 3", "10 не делится на 2 и 5 больше 3", "10 не делится на 2 и 5 не больше 3" - ложны.

ИЛИ - Операция, выражаемая связкой "или" (в неисключающем смысле этого слова), называется дизъюнкцией (лат. disjunctio - разделение) или логическим сложением и обозначается знаком v (или плюсом). Высказывание А v В ложно тогда и только тогда, когда оба высказывания А и В ложны. Например, высказывание "10 не делится на 2 или 5" ложно, а высказывание "10 делится на 2 или 10 делится на 3", - истинно.

Логический элемент компьютера - это часть электронной логической схемы, которая реализует элементарную логическую функцию.

Логическими элементами компьютеров являются электронные схемы И, ИЛИ, НЕ, (называемые также вентилями), а также триггер. Имеется один или несколько входов и один выход.

Каждый логический элемент имеет свое условное обозначение, которое выражает его логическую функцию, но не указывает на то, какая именно электронная схема в нем реализована. Это упрощает запись и понимание сложных логических схем.

Работу логических элементов описывают с помощью таблиц истинности.

Таблица истинности - это табличное представление логической схемы (операции), в котором перечислены все возможные сочетания значений входных сигналов (операндов) и соответствующие им значения выходного сигнала (результата операции) для каждого из этих сочетаний.

Схема И

Схема И реализует конъюнкцию двух или более логических значений. Условное обозначение на структурных схемах схемы И с двумя входами представлено на рис 1.

Таблица истинности схемы И

Единица на выходе схемы И будет тогда и только тогда, когда на всех входах будут единицы. Когда хотя бы на одном входе будет ноль, на выходе также будет ноль.

Связь между выходом z этой схемы и входами x и y описывается соотношением: z = x . y

(читается как "x и y"). Операция конъюнкции на структурных схемах обозначается знаком "&" (читается как "амперсэнд"), являющимся сокращенной записью английского слова and.

С

хема ИЛИ

Схема ИЛИ реализует дизъюнкцию двух или более логических значений. Когда хотя бы на одном входе схемы ИЛИ будет единица, на её выходе также будет единица.

Условное обозначение на структурных схемах схемы ИЛИ с двумя входами представлено на рис.2. Обозначение - знак "1" на схеме Связь между выходом z этой схемы и входами x и y описывается соотношением: z = x v y (читается как "x или y").

Таблица истинности схемы ИЛИ

С

хема НЕ

Схема НЕ (инвертор) реализует операцию отрицания. Связь между входом x этой схемы и выходом z можно записать соотношением z = , гдечитается как "не x" или "инверсия х".

Если на входе схемы 0, то на выходе 1. Когда на входе 1, на выходе 0. Условное обозначение на структурных схемах инвертора - на рисунке 3

Таблица истинности схемы НЕ

Учитель : Сабитов А.Н Дата: 25.10.2016 Класс: 8Б Тема : Логические основы компьютера Цели работы
Учебная	получить представления о принципах обработки информации компьютером (принципы фон Неймана); познакомить учащихся с понятиями: базовые логические элементы; сформировать представление об устройствах элементной базы компьютера; закрепить на практике;
развивающая	развитие логического мышления; продолжать способствовать развитию ИКТ - компетентности: умение применять полученные знания и навыки при выполнении практических упражнений
воспитательная	воспитание устойчивого познавательного интереса к предмету информатика через показ практического применения темы; воспитывать такие качества личности, как активность, самостоятельность и аккуратность в работе
методы обучения	словесный, наглядный, практический
Тип урока:	урок изучения нового материала
Вид урока:	комбинированный
Формы обучения:	фронтальная, индивидуальная
Программно-дидактическое обеспечение	ПК, презентация по теоретическому материалу, плакат, задания тестового типа
Межпредметные связи	с профессией

План урока

Организационный этап (проверка явки, посадки, готовности)

Объявление темы урока.

Мотивация темы. Вопросы учащимся

почему актуальна тема «Основы логики»;

какое значение имеет эта тема для изучения последующих дисциплин и для будущей профессиональной деятельности;

цели урока и план урока

Постановка целей урока, знакомство с формой занятия.

Активизация знаний:

формы мышления

основные логические операции

Новый материал:

принципы работы компьютера;

логические элементы компьютера.

Закрепление материала

Учащиеся выполняют обучающее задание на компьютерах. Задание тестового типа: файл Логика_тесты . Лист Сигнал.

Для учащиеся, быстро справившиеся с заданием, программа-тренажер «Логика» с сайта Константина Полякова.

Подведение итогов урока, выставление оценок за работу на уроке.

Домашняя работа. Повторить логические операции, выучить логические элементы компьютера.

Принципы работы компьютера

двоичное кодирование информации;

программное управление работой ЭВМ (идея Чарльза Бэббиджа);

принципы фон Неймана.

Принципы работы компьютера (принципы фон Неймана)

Принцип программного управления . Программа состоит из набора команд, которые выполняются процессором автоматически друг за другом в определённой последовательности

Принцип однородности памяти. Как программы, так и данные хранятся в одной и той же памяти (и кодируются в одной и той же системе счисления - чаще всего двоичной). Над командами можно выполнять такие же действия, как и над данными.

Принцип адресуемости памяти . Программа состоит из набора команд, которые выполняются процессором друг за другом в определенной последовательности

Логические элементы компьютера

Работа компьютера состоит в операциях над числами и символами, закодированными двумя цифрами – 0 и 1 и пересылке этой информации по линиям связи. (единица кодируется более высоким уровнем напряжения, чем 0 ).

Средством обработки двоичных сигналов в компьютере являются логические элементы.

Логическими элементами компьютеров являются электронные схемы И , ИЛИ , НЕ , И-НЕ , ИЛИ-НЕ и другие (называемые также вентилями), а также триггер.
Триггер – это логическая схема, способная хранить 1 бит информации (1 или 0). Строится на 2-х элементах ИЛИ-НЕ или на 2-х элементах И-НЕ Триггер имеет два устойчивых состояния, одно из которых соответствует двоичной единице , а другое - двоичному нулю
Полусумматор – это логическая схема, способная складывать два одноразрядных двоичных числа

ФОРМЫ МЫШЛЕНИЯ

ЛОГИКА - это наука о формах и
законах человеческого мышления
и, в частности, о законах
доказательных рассуждений.
Логика изучает мышление как средство
познания объективного мира. Законы
логики отражают в сознании человека
свойства, связи и отношения объектов
окружающего мира.

Основные формы мышления

Основными формами мышления являются: ПОНЯТИЯ,
СУЖДЕНИЯ, УМОЗАКЛЮЧЕНИЯ.
ПОНЯТИЕ - форма мышления, в которой отражаются
существенные признаки отдельного объекта или класса
однородных объектов.
Примеры: портфель, трапеция, ураганный ветер.
Понятие имеет две стороны: содержание и объем.

Основные формы мышления

СУЖДЕНИЕ – это форма мышления, в которой что-либо
утверждается или отрицается об объектах, их свойствах
и отношениях.
Суждениями обычно являются
повествовательными предложениями, которые могут
быть или истинными или ложными.
«Берн - столица Франции»,
«Река Кубань впадает в Азовское море»,
«2>9», «3×5=10»

Основные формы мышления

УМОЗАКЛЮЧЕНИЕ – это форма мышления,
посредством которой из одного или нескольких истинных
суждений, называемых посылками, мы по
определенным правилам вывода получаем новое
суждение (заключение).
Все металлы - простые вещества. Литий металл.→ Литий - простое вещество.
Один из углов треугольника равен 90º. → Этот
треугольник прямоугольный.

АЛГЕБРА ВЫСКАЗЫВАНИЙ

В основе работы логических схем и устройств персонального
компьютера лежит специальный математический аппарат математическая логика. Математическая логика изучает
вопросы применения математических методов для решения
логических задач и построения логических схем. Знание логики
необходимо при разработке алгоритмов и программ, так как в
большинстве языков программирования есть логические
операции.
Английский математик Джордж Буль (1815 - 1864 г.) создал
логическую алгебру, в которой высказывания обозначены
буквами. Сочинение Джорджа Буля, в котором подробно
исследовалась эта алгебра, было опубликовано в 1854 г. Оно
называлось «Исследование законов мысли» («Investigation of
the Laws of Thought»). Отсюда ясно, что Буль рассматривал
свою алгебру как инструмент изучения законов человеческого
мышления, то есть законов логики.
Алгебру логики иначе называют алгеброй высказываний. В
математической логике суждения называются высказываниями.

ВЫСКАЗЫВАНИЕ - это повествовательное предложение, о котором
можно сказать, что оно или истинно или ложно.
Земля - планета Солнечной системы. (Истинно)
2 · 2 =5 (Ложно)
Не всякое предложение является высказыванием:
1) Восклицательные и вопросительные предложения высказываниями не
являются.
“Какого цвета этот дом?”; “Пейте томатный сок!”
2) Не являются высказываниями и определения.
Определения не бывают истинными или ложными, они лишь
фиксируют принятое использование терминов.
“Назовем медианой отрезок, соединяющий вершину треугольника с
серединой противоположной стороны”.
3) Не являются высказываниями и предложения типа “Он сероглаз”
или
“х- 4х + 3=0” - в них не указано о каком человеке идет речь или для
какого числа х верно равенство. Такие предложения называются
высказывательными формами.
Высказывательная форма - это повествовательное предложение,
которое прямо или косвенно содержит хотя бы одну переменную и
становится высказыванием, когда все переменные замещаются своими
значениями.

Высказывания могут быть простыми и сложными.
Высказывание считается простым, если никакую
его часть нельзя рассматривать как отдельное
высказывание.
Высказывание, которое можно разложить на
части, будем называть сложным, а неразложимое далее
высказывание - простым.
Сложное высказывание получается путем объединения
простых высказываний логическими связками - НЕ, И,
ИЛИ. Значение истинности сложных высказываний зависит от
истинности входящих в них простых высказываний и
объединяющих их связок.
Например, даны простые высказывания:
На улице идет дождь.
На улице светит солнце.
На улице пасмурная погода.
Составим из них сложные высказывания:
На улице идет дождь и на улице светит солнце.
На улице светит солнце или на улице пасмурная погода.
Неверно что на улице идет дождь.

В математической логике не рассматривается
конкретное содержание высказывания, важно только,
истинно оно или ложно. Поэтому высказывание
можно представить некоторой переменной
величиной, значением которой может быть
только 0 или 1. Если высказывание истинно, то
его значение равно 1, если ложно - 0.
Простые высказывания назвали логическими
переменными и для простоты записи их обозначают
латинскими буквами: А, В, С…
Луна является спутником Земли. А = 1
Москва – столица Германии. В = 0
Сложные высказывания называются логическими
функциями. Значения логической функции также
может принимать значения только 0 или 1.

10. БАЗОВЫЕ ЛОГИЧЕСКИЕ ОПЕРАЦИИ

В алгебре высказываний, как и в обычной алгебре,
вводится ряд операций. Логические связки И,
ИЛИ и НЕ заменяются логическими операциями:
конъюнкцией, дизъюнкцией и инверсией. Это
основные логические операции, при помощи
которых можно записать любую логическую
функцию.

11. 1. Логическая операция ИНВЕРСИЯ (ОТРИЦАНИЕ)

соответствует частице НЕ
обозначается черточкой над именем
переменной или знаком ¬ перед переменной
Инверсия логической переменной истинна,
если сама переменная ложна, и, наоборот,
инверсия ложна, если переменная истинна.
Таблица истинности инверсии имеет вид:
A
0
A
1
0
1

12. 2. Логическая операция ДИЗЪЮНКЦИЯ (ЛОГИЧЕСКОЕ СЛОЖЕНИЕ)

соответствует союзу ИЛИ
обозначается знаком v или + или ║
Дизъюнкция двух логических переменных ложна тогда и только
тогда, когда оба высказывания ложны.
Это определение можно обобщить для любого количества
логических переменных, объединенных дизъюнкцией.
А v В v С =0, только если А=0, В=0, С=0.
Таблица истинности дизъюнкции имеет следующий вид:
A
0
B
0
A B
0
1
1
1
0
1
1
1
1
0

13. 3. Логическая операция КОНЪЮНКЦИЯ (ЛОГИЧЕСКОЕ УМНОЖЕНИЕ)

соответствует союзу И
обозначается знаком & или Λ, или ·
Конъюнкция двух логических переменных истинна тогда
и только тогда, когда оба высказывания истинны.
Это определение можно обобщить для любого
количества логических переменных, объединенных
конъюнкцией.
А & В & С=1, только если А=1, В=1, С=1.
Таблица истинности конъюнкции имеет следующий вид:
A
B
A B
0
0
0
0
1
0
1
0
0
1
1
1

14. ЛОГИЧЕСКИЕ ВЫРАЖЕНИЯ И ТАБЛИЦЫ ИСТИННОСТИ

Сложные высказывания можно записывать в виде формул. Для этого
простые логические высказывания нужно обозначить как логические
переменные буквами и связать их с помощью знаков логических операций.
Такие формулы называются логическими выражениями. Например:
(A B & C)
(A B) & (A B)
Чтобы определить значение логического выражения необходимо
подставить значения логических переменных в выражение и выполнить
логические операции. Операции в логическом выражении выполняются
слева направо с учетом скобок в следующем порядке:
1. инверсия;
2. конъюнкция;
3. дизъюнкция;
Для изменения указанного порядка выполнения логических операций
используются круглые скобки.

15. Таблицы истинности

Для каждого составного высказывания (логического выражения) можно
построить таблицу истинности, которая определяет истинность или
ложность логического выражения при всех возможных комбинациях
исходных значений простых высказываний (логических переменных).
При построении таблиц истинности целесообразно руководствоваться
определенной последовательностью действий:
1) записать выражение и определить порядок выполнения операций
2) определить количество строк в таблице истинности. Оно равно
количеству возможных комбинаций значений логических переменных,
входящих в логическое выражение (определяется по формуле Q=2n ,
где n - количество входных переменных)
3) определить количество столбцов в таблице истинности (= количество
логических переменных + количество логических операций)
4) построить таблицу истинности, обозначить столбцы (имена переменных
и обозначения логических операций в порядке их выполнения) и
внести в таблицу возможные наборы значений исходных логических
переменных.
5) заполнить таблицу истинности, выполняя базовые логические операции
в необходимой последовательности и в соответствии с их таблицами
истинности

16.

Теперь мы можем определить значение логической функции для
любого набора значений логических переменных.
Например, построим таблицу истинности для логической функции:
F (A, B ,C) A (C В)
Количество входных переменных в заданном выражении равно
трем (A,B,C). Значит, количество входных наборов, а значит и строк
Q=23=8. Количество столбцов равно 6 (3 переменные + 3 операции).
Столбцы таблицы истинности соответствуют значениям исходных
выражений A,B,C, промежуточных результатов Aи,(аCтакже
В)
искомого окончательного значения сложного арифметического
выражения
A (C В)

17.

A (C В)
A
B
C
A
BVC
A (C В)

18.

A (C В)
A
B
C
0
0
0
0
0
1
0
1
0
0
1
1
1
0
0
1
0
1
1
1
0
1
1
1
A
B V C A (C В)

19.

A
B
C
A
BVC
A (C В)
0
0
0
1
0
0
0
0
1
1
1
1
0
1
0
1
1
1
0
1
1
1
1
1
1
0
0
0
0
0
1
0
1
0
1
0
1
1
0
0
1
0
1
1
1
0
1
0
Задание. Постройте таблицу истинности для логического выражения:
(A B) (A В)

20.

(A B) & (A B)
(A B) & (A B)
А
В
A B
A
0
0
1
0
1
0
0
1
1
1
1
0
1
1
0
0
1
0
1
1
1
0
1
1
A B

21. РЕШЕНИЕ ЛОГИЧЕСКИХ ЗАДАЧ

22.

ЗАДАЧА 1.
Разбирается дело Лёнчика, Пончика и Батончика. Кто-то из них нашел и утаил клад. На
следствии каждый из них сделал по два заявления.
Батончик: «Я не делал этого. Пончик сделал это»
Лёнчик: «Пончик не виновен. Батончик сделал это»
Пончик: «Я не делал этого. Лёнчик не делал этого»
Суд установил, что один из них дважды солгал, другой - дважды сказал правду, третий -
один раз солгал, один раз сказал правду. Кто утаил клад?
Решение:
Введём обозначения: Б –клад утаил Батончик, П - клад утаил Пончик, Л - клад
утаил Лёнчик. Рассмотрим три возможных варианта – виноват Батончик, виноват Пончик,
виноват Лёнчик. При таких вариантах получаем следующие значения высказываний трёх
обвиняемых.
Возможные варианты
Высказывания
Батончика
Высказывания
Лёнчика
Высказывания
Пончика
Б
Л
П
¬Б
П
¬П
Б
¬П
¬Л
Соответств
ие условию
задачи
1
0
0
0
0
1
1
1
1
-
0
0
1
1
1
0
0
0
1
+
0
1
0
1
0
1
0
1
0
-
В первом варианте один солгал дважды, а двое сказали правду дважды, что не соответствует
условию задачи. В третьем варианте все один раз сказали правду и один раз солгали, что
также не соответствует условию задачи. Во втором варианте один дважды солгал, другой
дважды сказал правду, а третий один раз сказал правду, а один раз солгал, что соответствует
условию задачи. Следовательно клад утаил Пончик.

23.

Задача 2.
В школьном первенстве по настольному теннису в четверку лучших вошли девушки: Наташа, Маша, Люда и Рита.
Самые горячие болельщики высказали свои предположения о распределении мест в дальнейших состязаниях.
Один считает, что первой будет Наташа, а Маша будет второй.
Другой болельщик на второе место прочит Люду, а Рита, по его мнению, займет четвертое место.
Третий любитель тенниса с ними не согласился. Он считает, что Рита займет третье место, а Наташа будет второй.
Когда соревнования закончились, оказалось, что каждый из болельщиков был прав только в одном из своих прогнозов.
Какое место на чемпионате заняли Наташа, Маша, Люда, Рита?
Решение:
Введём обозначения: Н1 – Наташа на 1 месте, М2 – Маша на 2 месте, Л2 – Люда на 2 месте, Р4 – Рита на 4
месте, Р3 – Рита на 3 месте, Н2 – Наташа на 2 месте. Занесём возможные варианты высказываний трёх
болельщиков в таблицу с учётом того, что каждый из болельщиков оказался прав только в одном из своих
прогнозов:
Высказывания 1-ого
болельщика
Высказывания 2-ого
болельщика
Высказывания 2-ого
болельщика
Соответствие
условию
задачи
Н1
М2
Л2
Р4
Р3
Н2
0
1
0
1
0
1
-
0
1
0
1
1
0
-
0
1
1
0
1
0
-
0
1
1
0
0
1
-
1
0
0
1
0
1
-
1
0
0
1
1
0
-
1
0
1
0
0
1
-
1
0
1
0
1
0
+
Из анализа таблицы видно, что условию задачи соответствует только последняя строка, значит первое место
заняла Наташа, второе – Люда, третье – Рита, а Маша –четвёртое.

24.

Задача 3.
Вадим, Сергей и Михаил изучают различные иностранные языки: китайский, японский и
арабский. На вопрос, какой язык изучает каждый из них, один ответил: "Вадим изучает
китайский, Сергей не изучает китайский, а Михаил не изучает арабский". Впоследствии
выяснилось, что в этом ответе только одно утверждение верно, а два других ложны. Какой язык
изучает каждый из молодых людей?
Решение:
Введём обозначения: ВК – Вадим изучает китайский язык, СК – Сергей изучает китайский язык,
МА - Михаил изучает арабский язык. Занесём в таблицу возможные варианты значений
высказываний с учётом условия задачи, что одно из утверждений верно, а два - ложны:
ВК
¬ СК
¬ МА
ВК
СК
МА
Соответствие
условию
задачи
1
0
0
1
1
1
-
0
0
1
0
1
0
+
0
1
0
0
0
1
-
Возможные варианты высказываний
Проанализируем строки в трёх последних столбцах. Условию задачи соответствует
только вторая строка, значит Сергей изучает китайский язык, Михаил – японский (так как
он не изучает арабский), тогда Вадим изучает арабский язык.

25.

Задача 4. Три одноклассника - Влад, Тимур и Юра, встретились спустя 10 лет после окончания
школы. Выяснилось, что один из них стал врачом, другой физиком, а третий юристом. Один полюбил
туризм, другой бег, страсть третьего - регби.
Юра сказал, что на туризм ему не хватает времени, хотя его сестра - единственный врач в семье,
заядлый турист. Врач сказал, что он разделяет увлечение коллеги.
Забавно, но у двоих из друзей в названиях их профессий и увлечений не встречается ни одна буква
их имен.
Определите, кто чем любит заниматься в свободное время и у кого какая профессия.
Решение: Здесь исходные данные разбиваются на тройки (имя - профессия - увлечение).
Из слов Юры ясно, что он не увлекается туризмом и он не врач. Из слов врача следует, что он
турист.
Имя
Юра
Профессия
врач
Увлечение
туризм
Буква "а", присутствующая в слове "врач", указывает на то, что Влад тоже не врач, следовательно
врач - Тимур. В его имени есть буквы "т" и "р", встречающиеся в слове "туризм", следовательно
второй из друзей, в названиях профессии и увлечения которого не встречается ни одна буква его
имени - Юра. Юра не юрист и не регбист, так как в его имени содержатся буквы "ю" и "р".
Следовательно, окончательно имеем:
Имя
Юра
Тимур
Влад
Профессия
физик
врач
юрист
Увлечение
бег
туризм
регби
Ответ. Влад - юрист и регбист, Тимур - врач и турист, Юра - физик и бегун.

26. Задачи для самостоятельного решения

Задача 1. Трое друзей, болельщиков автогонок "Формула-1", спорили о результатах предстоящего этапа гонок.
- Вот увидишь, Шумахер не придет первым, - сказал Джон. Первым будет Хилл.
- Да нет же, победителем будет, как всегда, Шумахер, - воскликнул Ник. - А об Алези и говорить нечего, ему не
быть первым.
Питер, к которому обратился Ник, возмутился:
- Хиллу не видать первого места, а вот Алези пилотирует самую мощную машину.
По завершении этапа гонок оказалось, что каждое из двух предположений двоих друзей подтвердилось, а оба
предположения третьего из друзей оказались неверны. Кто выиграл этап гонки?
Задача 2. В спортивных соревнованиях принимали участие пять команд: "Вымпел", "Метеор", "Нептун", "Старт" и
"Чайка". Об их итогах соревнования имеется пять высказываний:
1) Второе место занял "Вымпел", a "Cтарт" оказался на третьем.
2) Хорошо выступала команда "Нептун", она стала победителем, а "Чайка" вышла на второе место.
3) Да нет же, "Чайка" заняла только третье место, а "Нептун"- был последним.
4) Первое место по праву завоевал "Cтарт", а "Метеор" был 4-м.
5) Да, "Метеор", действительно, был четвертым, а "Вымпел" был 2-м.
Известно, что команды не делили места между собой и что в каждом высказывании одно утверждение
правильное, а другое нет.
Как распределились места между командами?
Задача 3 Три дочери писательницы Дорис Кей - Джуди, Айрис и Линда, тоже очень талантливы. Они приобрели
известность в разных видах искусств - пении, балете и кино. Все они живут в разных городах, поэтому Дорис
часто звонит им в Париж, Рим и Чикаго.
Известно, что:
Джуди живет не в Париже, а Линда - не в Риме;
парижанка не снимается в кино;
та, кто живет в Риме, певица;
Линда равнодушна к балету.
Где живет Айрис, и какова ее профессия?

27.

Логические операции «И», «ИЛИ», «НЕ» лежат
в основе работы преобразователей
информации любого компьютера
американский математик,
доказал применимость
булевой алгебры в теории
контактных и релейноконтактных схем (в 1938
году)
Клод Шеннон
(1916 г.)
27

28. Логический элемент компьютера

- это часть электронной логичеcкой схемы, которая реализует элементарную
логическую функцию.
Логическими элементами компьютеров являются электронные схемы И,
ИЛИ, НЕ, И-НЕ, ИЛИ-НЕ и другие (называемые также вентилями), а
также триггер.
С помощью этих схем можно реализовать любую логическую функцию,
описывающую работу устройств компьютера. Обычно у вентилей бывает от
двух до восьми входов и один или два выхода.
Чтобы представить два логических состояния - “1” и “0” в вентилях,
соответствующие им входные и выходные сигналы имеют один из двух
установленных уровней напряжения. Например, +5 вольт и 0 вольт.
Высокий уровень обычно соответствует значению “истина” (“1”), а низкий -
значению “ложь” (“0”).
Каждый логический элемент имеет свое условное обозначение, которое
выражает его логическую функцию, но не указывает на то, какая именно
электронная схема в нем реализована. Это упрощает запись и понимание
сложных логических схем.
Работу логических элементов описывают с помощью таблиц истинности.
Таблица истинности это табличное представление логической схемы
(операции), в котором перечислены все возможные сочетания значений
истинности входных сигналов (операндов) вместе со значением истинности
выходного сигнала (результата операции) для каждого из этих сочетаний.

29.

1
0
&
Логический элемент «И»,
преобразует входные
0
сигналы и выдает
результат логического
умножения
29

30.

1
0
V
Логический элемент
1
«ИЛИ», преобразует
входные сигналы и
выдает результат
логического сложения.
30

31.

1
1
0
Логический элемент
«НЕ». Преобразует
входной сигнал и
выдает результат
логического отрицания.
31

32.

А
В
&
F1
1
F2
V
F3
A&BvB
Функциональная схема логического устройства
Структурная формула ЛУ
Зная функциональную схему, можно составить
структурную формулу данного ЛУ.
Анализируя структурную формулу, можно создать
функциональную схему и понять, как работает данное 32ЛУ.

33.

Какие логические операции лежат в основе
преобразователей информации в ПК?
Как называются логические элементы ПК?
Что такое структурная формула?
Что можно увидеть на функциональной схеме?
Какие устройства ПК построены на логических
элементах?
Какие основные операции выполняет центральный
процессор?
Как «работает» память ПК?
Не знаете?
тогда идем дальше!
33

34.

Так как все многообразие операций в ПК сводится
к сложению двоичных чисел,
то главной частью процессора (АЛУ) является сумматор.
Рассмотрим сложение одноразрядных двоичных чисел:
Слагаемые Перено Сумм
с
а
А
В
Р
S
0
0
0
0
0
1
0
1
1
0
0
1
1
1
1
0
34

35.

Слагаемые
А
В
0
0
Перенос
Р
0
Сумма
S
0
0
1
0
1
1
0
0
1
1
1
1
0
P=A&B
S=(А v B) & (A & B)
Докажем это, построив таблицу истинности для данного ЛВ
А
B
1
AVB
2
A&B
3
NOT(2)
4
1&3
0
0
0
1
0
1
0
0
1
1
0
1
1
0
1
0
1
1
1
1
1
1
0
0
35

36.

S=(А v B) & (A & B)
P=A&B
A
Теперь, на основе полученных логических выражений,
можно построить схему данного устройства
P
&
B
1
&
S
V
36

37.

Данная схема называется полусумматором, так как
суммирует одноразрядные двоичные числа без учета
переноса из младшего разряда.
Многоразрядный сумматор процессора состоит из полных
одноразрядных сумматоров, причем выход (перенос)
сумматора младшего разряда подключен ко входу
сумматора старшего разряда.
Сумматор - это электронная логическая схема,
выполняющая суммирование двоичных чисел.
Сумматор служит, прежде всего, центральным узлом
арифметико-логического устройства компьютера. 37

38.

Для хранения информации в ОП и регистрах ЦП
применяется устройство ТРИГГЕР. Ячейка
памяти состоит из 8, 16 или 32 триггеров, что и
определяет разрядность ЦП. Триггер строится из
двух элементов «ИЛИ» и двух элементов «НЕ».
S(1)
V
1
0
1
0
V
1
1
R
В обычном состоянии на входы подан «0». Для записи на вход S подается
«1». Он его будет хранить и даже после того, как сигнал на входе «S»
исчезнет. Чтобы сбросить информацию, подается «1» на вход R (Reset),
после чего триггер возвращается к исходному «нулевому» состоянию.
38

39. Триггер

Триггер - это электронная схема, широко применяемая в
регистрах компьютера для надёжного запоминания одного
разряда двоичного кода. Триггер имеет два устойчивых
состояния, одно из которых соответствует двоичной единице,
а другое - двоичному нулю.
Термин триггер происходит от английского слова trigger -
защёлка, спусковой крючок. Для обозначения этой схемы в
английском языке чаще употребляется термин flip-flop, что в
переводе означает "хлопанье". Это звукоподражательное
название электронной схемы указывает на её способность
почти мгновенно переходить ("перебрасываться") из одного
электрического состояния в другое и наоборот.
Самый распространённый тип триггера - так называемый
RS-триггер (S и R, соответственно, от английских set -
установка, и reset - сброс).

40.

Несколько триггеров можно
объединить в группы - регистры
и использовать в качестве
запоминающих устройств (ЗУ).
Если в регистр входит N триггеров,
то при таком ЗУ можно запоминать
N-разрядные двоичные слова.
ОЗУ ЭВМ часто конструируется в
виде набора регистров.
Один регистр образует одну
ячейку памяти, каждая из которых
имеет свой номер
Таким образом, ЭВМ
состоит из огромного числа
Отдельных логических элементов,
образующих все ее узлы и память.
т
т
т

«Полученное целое частное меньше 2?»

При выполнении двоичного сложения необходимо придержи­ваться следующего правила: «Цифры суммируются по разрядам, и если при этом возникает избыток, то единица переносится вле­во в старший разряд», т.е. постоянно нужно анализировать:

«Есть переизбыток?» «Да» «Нет»

Алгебра логики

Алгебра логики появилась в середине XIX в. в трудах англий­ского математика Джорджа Буля. Он пытался решать традицион­ные логические задачи алгебраическими методами.

Логическое высказывание - это любое повествовательное предло­жение, в отношении которого можно однозначно сказать, истинно оно или ложно. Например, предложение «6 - четное число» следует считать высказыванием, так как оно истинное; предложение «Рим - столица Франции» - тоже высказывание, так как оно ложное.

Разумеется, не всякое предложение является логическим выс­казыванием.

Высказываниями не являются, например, предложения: «Сту­дент 204 группы», «Здравствуйте!», «В колледже более 1000 уча­щихся», «Хороший студент», - так как невозможно судить об их истинности или ложности (или нужны дополнительные сведения, чтобы предложение стало высказыванием, например: «Петров - хороший студент» или «в колледже № 15 г. Самары более 1000 учащихся»).

Алгебра логики рассматривает любое высказывание только с одной точки зрения - является ли оно истинным или ложным.

Заметим, что зачастую трудно установить истинность высказы­вания. Например, высказывание «Площадь поверхности Индий­ского океана равна 75 млн км 2 » в одной ситуации можно посчи­тать ложным, а в другой - истинным (ложным - так как указан­ное значение неточное и вообще не является постоянным; истин­ным - если рассматривать его как некоторое приближение, прием­лемое на практике).

Употребляемые в обычной речи слова и словосочетания «не», «и», «или», «если, то», «тогда и только тогда» и другие позволяют из уже заданных высказываний строить новые. Такие слова и слово­сочетания называются логическими связками.

Высказывания, образованные из других высказываний с по­мощью логических связок, называются составными. Высказыва­ния, не являющиеся составными, называются элементарными. Например, из элементарных высказываний «Иванов - студент», «Иванов - отличник» при помощи связки и можно получитьсоставное высказывание «Иванов - студент и отличник».

Чтобы обращаться к логическим высказываниям, им назнача­ют имена. Пусть через А обозначено высказывание «Иван поедет летом на море», а через В - высказывание «Иван летом отправится в горы». Тогда составное высказывание «Иван летом побывает и на море, и в горах» можно записать кратко: «А И В». Здесь И - логическая связка; А, В - логические переменные, которые могут принимать только два значения: «истина» и «ложь», обознача­емые соответственно 1 и 0.

В алгебре высказывания обозначаются именами логических пе­ременных, которые могут принимать лишь два значения: «исти­на» (1) и «ложь» (0).

Рассмотрим операции, которые можно производить с логиче­скими высказываниями.

Операция отрицания. Операция, выражаемая словом НЕ, назы­вается отрицанием, или инверсией, и обозначается чертой над высказыванием. Высказывание А истинно, когда А ложно, и лож­но, когда А истинно. Например: «Луна - спутник Земли» (А); «Луна - не спутник Земли» (А).

Пусть А = «Два умножить на два равно четырем» - истинное высказывание, тогда высказывание, образованное с помощью опе­рации логического отрицания - «Два умножить на два не равно четырем», - ложное высказывание.

Образуем высказывание F, являющееся логическим отрицани­ем А:

Истинность такого высказывания задается таблицей истинно­сти функции логического отрицания (табл. 2.6).

Таблица 2.6 Таблица истинности функции логического отрицания

А	F

Операция конъюнкции.

Операция, выражаемая связкой И, на­зывается соединением, или конъюнкцией, или логическим ум­ножением, и обозначается знаком «&» (может обозначаться зна­ком «л» или « »). Высказывание F = А&В истинно только тогда, когда оба высказывания А и В истинны. Например, высказывание «10 делится на 2 И 5 больше 3» истинно, а высказывания «10 делится на 2 И 5 не больше 3», «10 не делится на 2 И 5 больше 3», «10 не делится на 2 И 5 не больше 3» ложны.

Значение логической функции F можно определить с помо­щью таблицы истинности данной функции, которая показьйает, какие значения принимает логическая функция при всех возмож­ных наборах ее аргументов (табл. 2.7).

Таблица 2.7

Таблица истинности функции логического умножения

А	В	F

Рассмотрим, например, составное высказывание «2 2 = 4 И 3 *3 = 10». Первое простое высказывание истинно (А = 1), а второе высказывание ложно (В = 0). По табл. 2.7 определяем, что логиче­ская функция принимает значение «ложь» (F = 0), т.е. данное со­ставное высказывание ложно.

Операция дизъюнкции. Операция, выражаемая связкой ИЛИ, называется разделением, или дизъюнкцией (от лат. disjunctio - разделение), или логическим сложением, и обозначается знаком «v» (или «+»). Высказывание F = A v В ложно тогда и только тогда, когда оба высказывания А и В ложны. Например, высказывание «10 не делится на 2 ИЛИ 5 не больше 3» ложно, а высказывания «10 делится на 2 ИЛИ 5 больше 3», «10 делится на 2 ИЛИ 5 не больше 3», «10 не делится на 2 ИЛИ 5 больше 3» истинны.

Функцию F можно определить с помощью таблицы истинно­сти, которая показывает, какие значения принимает логическая функция при всех возможных наборах ее аргументов (табл. 2.8).

Таблица 2.8

Таблица истинности функции логического сложения

А	в	F

Операция импликации. Операция следования, выражаемая связками «если..., то», «из... следует», «... влечет...», называется импликацией и обозначается знаком «->». Высказывание А-> В лож­но тогда и только тогда, когда А истинно, а В ложно.

Каким же образом импликация связывает два элементарных высказывания? Покажем это на примере следующих высказыва­ний: «Данный четырехугольник - квадрат» (А) и «Около данного четырехугольника можно описать окружность» (В). Рассмотрим составное высказывание F = А-»В, под которым понимается: «Если данный четырехугольник - квадрат; то около него можно опи­сать окружность».

Существуют три варианта, когда высказывание А-*В истинно:

1) А истинно и В истинно, т.е. данный четырехугольник - квадрат и около него можно описать окружность;

2) А ложно и В истинно, т. е. данный четырехугольник не явля­ется квадратом, но около него можно описать окружность (разу­меется, это справедливо не для всякого четырехугольника);

3) А ложно и В ложно, т. е. данный четырехугольник не являет­ся квадратом и около него нельзя описать окружность.

Ложен только один вариант: А истинно и В ложно, т.е. данный четырехугольник является квадратом, но около него нельзя опи­сать окружность.

Функцию F можно определить, используя таблицу истинности (табл. 2.9): F = A^B

Таблица 2.9

Таблица истинности логической функции импликации

А	в	F

Операция логического следования несколько отличается от обычного понимания слова «следует». Если первое высказывание (предпосылка) ложно, то независимо от истинности или ложно­сти второго высказывания (вывода) составное высказывание истин­но. Из неверной предпосылки может следовать что угодно.

В алгебре высказываний все логические функции могут быть сведены путем логических преобразований к трем базовым: логи­ческому умножению, логическому сложению и логическому от­рицанию.

Докажем методом сравнения таблиц истинности, что операция импликации А-> В равносильна логическому выражению A v В (табл. 2.10).

Таблица 2.10

Таблица истинности логического выражения A v В

А	в	А	A vB
			I

Табл. 2.10 полностью совпадает с табл. 2.9.

Операция эквиваленции. Операция равенства, выражаемая связ­ками «тогда и только тогда», «необходимо и достаточно», «...рав­носильно...», называется эквиваленцией, или двойной имплика­цией, и обозначается знаками «<-»» или «~». Высказывание А <-> В истинно тогда и только тогда, когда значения А и В совпадают. Например, истинны высказывания: «24 делится на 6 тогда и толь­ко тогда, когда 24 делится на 3», «23 делится на 6 тогда и только тогда, когда 23 делится на 3» - и ложны высказывания: «24 де­лится на 6 тогда и только тогда, когда 24 делится на 5», «21 делит­ся на 6 тогда и только тогда, когда 21 делится на 3».

Высказывания А и В, образующие составное высказывание F = А<-»В, могут быть совершенно не связаны по содержанию.

Составное высказывание F = А<-> В имеет таблицу истинности (табл. 2.11).

Таблица 2.11

Таблица истинности составного высказывания А<->В

А	в	F

Составное высказывание, образованное с помощью логической операции эквивалентности, истинно тогда и только тогда, когда оба высказывания одновременно либо ложны, либо истинны.

Эквивалентность можно выразить через следующие логические функции:

F=AoB = (AvB)&(BvA).

Порядок выполнения логических операций задается круглыми скобками. Но для уменьшения числа скобок договорились счи­тать, что сначала выполняется операция отрицания (НЕ), затем - конъюнкции (И), затем дизъюнкции (ИЛИ) и в последнюю оче­редь - импликации. Такая последовательность называется при­оритетом операций.

2.2.2. Основные законы алгебры логики

В алгебре логики имеется ряд законов, позволяющих произво­дить равносильные преобразования логических выражений.

1. Закон двойного отрицания:

Двойное отрицание исключает отрицание.

2. Переместительный (коммутативный) закон:

Для логического сложения

A v В = В v А;

Для логического умножения

Результат операции над высказываниями не зависит от того, в каком порядке берутся эти высказывания. В обычной алгебре a + b = b + a;a-b = b-a.

3. Сочетательный (ассоциативный) закон:

Для логического сложения

(A v В) v С = A v (В v С);

Для логического умножения

(А&В)&С = А&(В&С).

При одинаковых знаках скобки можно ставить произвольно или опускать.

В обычной алгебре (а + Ь) + с = а + (Ь + с) = а + b + с;

(а Ь) ■ с = а (Ь с) = а b с.

4. Распределительный (дистрибутивный) закон:

Для логического сложения

(A v В) & С = (А&С) v (B&C);

Для логического умножения
(А&В) v С = (A v C)&(B v С).

Данный закон определяет правило выноса общего высказыва­ния за скобку.

В обычной алгебре справедлив распределительный закон толь­ко для сложения: (а + Ь) с = а с + b с.

5. Закон общей инверсии (законы де Моргана):

Для логического сложения

Для логического умножения

6. Закон идемпотентности (от лат. idem - тот же самый + potens -сильный (дословно - равносильный)):

Для логического сложения

Для логического умножения

Закон означает отсутствие показателей степени.

7. Закон исключения констант:

Для логического сложения

Avl = l;AvO = A;

Для логического умножения

А&1 = А; А&0 = 0.

8. Закон противоречия:

Невозможно, чтобы противоречащие высказывания были од­новременно истинными.

9. Закон исключения третьего:

Из двух противоречащих высказываний об одном и том же пред­мете одно всегда истинно, а второе - ложно; третьего не дано.

10. Закон поглощения:

Для логического сложения:

Для логического умножения

А&(А v В) = А.

11. Закон исключения (склеивания):

Для логического сложения

(A&B)v(A&B) = B;

Для логического умножения

(AvB)&(AvB) = B.

12. Закон контрапозиции (правило перевертывания):

(А*+В) = (ВвА).

Справедливость приведенных законов можно доказать табли-цным способом: выписать все наборы значений А и В, вычислить на них значения левой и правой частей доказываемого выражения и убедиться, что значения в результирующих столбцах совпадут.

Пример 1. Найдите X, если XvAvXvA=B.

Для преобразования левой части равенства последовательно воспользуемся законом де Моргана для логического сложения и законом двойного отрицания:

(Х&А) v (Х&А).

Согласно распределительному закону для логического сложе­ния

Согласно закону исключения третьего и закона исключения констант

Х&1 = X. Полученную левую часть приравняем правой:

Окончательно получим: X = В.

Пример 2. Упростите логическое выражение (AvBvC)&

&А v В v С. Правильность упрощения проверьте с помощью таб­лиц истинности для исходного и полученного логических выра­жений.

Согласно закону общей инверсии для логического сложения (первому закону де Моргана) и закону двойного отрицания

(A v В v C)&A v В v С = (A v В v С)&(А&В&С).

Согласно распределительному (дистрибутивному) закону для логического сложения

(A v В v С)&(А&В&С) = (А&А) v (В&А) v (С&А) v (A&B) v v (B&B) v (C&B) v (А&С) v (В&С) v (С&С).

Согласно закону противоречия »

(А&А) = 0; (С&С) = 0.

Согласно закону идемпотентности

Подставляем значения и, используя переместительный (ком­мутативный) закон и группируя слагаемые, получаем:

О v (A&B) v (A&B) v В v (C&B) v (C&B) v (C&A) v (A&C) v 0.

Согласно закону исключения (склеивания)

(A&B) v (А&В) = В; (C&B) v (C&B) = В.

OvBvBvBv (C&A) v (A&C) v 0.

Согласно закону исключения констант для логического сложе­ния и закону идемпотентности

Подставляем значения и получаем:

Согласно распределительному (дистрибутивному) закону для логического умножения

(C&A) v (А&С) = (С v А) & (С v С) & (A v A) & (A v С). Согласно закону исключения третьего

(CvC) = l;(AvA) = l. Подставляем значения и окончательно получаем:

Решение логических задач способствует развитию абстрактно­го мышления, тренирует память и развивает логику.

2.2.3. Логические основы устройства компьютера

Математический аппарат алгебры логики очень удобен для опи­сания того, как функционируют аппаратные средства компьюте­ра, поскольку основной системой счисления в компьютере явля­ется двоичная, в которой используются цифры 1 и 0, а значений логических переменных тоже два: 1 (true) и 0 (false).

Из этого следует два вывода:

Одни и те же устройства компьютера могут применяться для обработки и хранения как числовой информации, представлен­ной в двоичной системе счисления, так и логических перемен­ных.

На этапе конструирования аппаратных средств алгебра логи­ки позволяет значительно упростить логические функции, опи­сывающие функционирование схем компьютера, и, следователь­но, уменьшить число элементарных логических элементов, из де­сятков тысяч которых состоят основные узлы компьютера.

Логический элемент компьютера - это часть электронной логи­ческой схемы, которая реализует элементарную логическую функ­цию.

Логическими элементами компьютеров являются электронные схемы И, ИЛИ, НЕ, И-НЕ, ИЛИ-НЕ и др. (называемые также вентилями), а также триггер. С помощью этих схем можно реали­зовать любую логическую функцию, описывающую работу уст­ройств компьютера. Обычно у вентилей бывает от двух до восьми входов и один или два выхода. Чтобы представить два логических состояния 1 и 0 в вентилях, соответствующие им входные и вы­ходные сигналы имеют один из двух установленных уровней на­пряжения. Например: 5 и О В.

Высокий уровень обычно соответствует значению «истина» (1), а низкий - значению «ложь» (0).

Каждый логический элемент имеет свое условное обозначе­ние, которое выражает его логическую функцию, но не указыва­ет на то, какая именно электронная схема в нем реализована. Это упрощает запись и понимание сложных логических схем.

Работу логических элементов описывают с помощью таблиц истинности (аналогично таблицам истинности функций).

Рассмотрим структурные схемы логических элементов компь­ютера и их таблицы истинности (табл. 2.12).

Схема И реализует конъюнкцию двух или более логических значений. На выходе схемы И будет 1 тогда и только тогда, когда на всех входах будут 1. Когда хотя бы на одном входе будет 0, на выходе также будет 0;

Схема ИЛИ реализует дизъюнкцию двух или более логических значений. Когда хотя бы на одном из выходов схемы или будет 1, на ее выходе тоже будет 1;

Схема НЕ (инвертор) реализует операцию отрицания. Связь Между входом х этой схемы и выходом z можно записать соотно­шением z= х. Если на входе схемы 0, то на выходе 1. Когда на Входе 1, то на выходе 0;

Схема И-НЕ состоит из элемента И и инвертора и осуществ­ляет отрицание результата схемы И. Связь между выходом z и выхо­дами х и у схемы записывают следующим образом: z = х & у;

Таблица 2.12

Структурные схемы логических элементов компьютера и их таблицы истинности

Условное обозначение	Структурная схема	Таблица истинности
И
X Y				X	У	х&у
&	X&Y
ИЛИ
				X	У	xvy
X_ Y		XvY
НЕ
Х_		() X		X	X
И-НЕ
				X	У	х&у
X Y	& <
X&Y
ИЛИ-НЕ
				X	У	xvy
X Y	1 (
XvY

Схема ИЛИ-НЕ состоит из элемента ИЛИ и инвертора и оС уществляет отрицание результата схемы ИЛИ. Связь между вы­ходом z и входами х и у схемы записывают следующим образом: z = xVy.

Триггер

Важнейшей структурной единицей оперативной памяти ком­пьютера, а также внутренних регистров процессора, является триг­гер. Это устройство позволяет запоминать, хранить и считывать информацию (каждый триггер может хранить 1 бит информации).

Триггер можно построить их двух логических элементов ИЛИ и двух элементов НЕ (рис. 2.3, а). Им соответствует таблица истин­ности (табл. 2.13).

Самый распространенный тип триггера - RS -триггер (от англ. set - установка + reset - сброс). Он имеет два симметричных вхо­да R и S и два симметричных выхода Q и Q. На каждый из двух выходов могут подаваться входные сигналы в виде импульсов (на­личие импульса на входе будем считать единицей, а его отсут­ствие - нулем). В обычном состоянии на входы R и S триггера подан сигнал 0 и триггер хранит 0. Для записи 1 на вход S (устано­вочный) подается сигнал 1. Последовательно рассмотрев прохож­дение сигнала по схеме, видно, что триггер переходит в СОСТОЯ­ВШИ"

Рис. 2.3. Схема триггера: а - на элементах ИЛИ и НЕ; б - на элементах ИЛИ-НЕ

Таблица 2.13 Таблица истинности

S	R	Q	Q
		Запрещено
		Хранение бита

ние «1» и будет устойчиво находиться в нем и после того, как сигнал на входе S исчезнет. Триггер запомнил 1, т.е. с выхода триггера Q можно считать 1.

Для того чтобы сбросить информацию и подготовиться к при­ему новой, подается сигнал 1 на вход R (сброс), после чего триггер возвращается к исходному (нулевому) состоянию. Если на входы R и S подана логическая 1, то состояние Q и Q не меняется, подача на оба входа логического 0 может привести к неординарному ре­зультату, и поэтому эта комбинация входных сигналов запрещена.

На рис. 2.3, б показана реализация триггера с помощью венти­лей ИЛИ-НЕ.

2.2.5. Сумматор двоичных чисел

В целях максимального упрощения работы компьютера все мно­гообразие математических операций в процессоре сводится к сло­жению двоичных чисел, поэтому важным элементом процессора является сумматор, который и обеспечивает такое сложение.

При сложении двоичных чисел образуется сумма в текущем разряде; при этом возможен перенос единицы в старший разряд. Обозначим слагаемые - А, В, перенос - Р и сумму - S.

Таблица 2.14

Таблица сложения одноразрядных двоичных чисел

Из табл. 2.14 видно, что перенос единицы можно реализовать с помощью операции логического умножения:

где Р - перенос; А и В - множители.

Для определения суммы можно применить следующее выраже­ние:

S = (AvB)&(A&B).

Построим таблицу истинности для данного логического выра­жения и убедимся в правильности нашего предположения (табл. 2.15).

Таблица 2.15

Таблица истинности функции F = (A v В) & (А & В)

А	В	AvB	А&В	А&В	(AvB)&(A&B)

Рис. 2.4. Схема полусумматора двоичных чисел

На основе полученных логических выражений можно постро­ить схему полусумматора на базовых логических элементах.

По логической формуле переноса легко определить, что для по­лучения переноса необходимо использовать логический элемент И.

Анализ логической формулы для суммы показывает, что на выходе должен стоять элемент логического умножения И, кото­рый имеет два входа. На один из входов подается результат логи­ческого сложения исходных величин A v В, т. е. на него должен подаваться сигнал с элемента логического сложения ИЛИ.

На второй вход требуется подать результат инвертированного логического умножения исходных сигналов А&В, т.е. на второй вход подается сигнал с элемента НЕ, на вход которого поступает сигнал с элемента логического умножения И (рис. 2.4).

Данная схема называется полусумматором, так как реализует суммирование одноразрядных двоичных чисел без учета переноса из младшего разряда.

Контрольные вопросы

1. Связано ли появление алгебры логики с разработкой персонально­го компьютера?

2. Назовите основные логические операции.»

3. Приведите примеры предложений, которые не являются логиче­ским высказыванием.

4. Покажите связь между алгеброй логики и двоичным кодированием информации.

5. Какой логический элемент нужно поставить в старший разряд, что­бы запомнить целое отрицательное число -5?

6. Назовите приоритеты логических операций.

7. Сформулируйте отрицание следующих высказываний: «2 > 5»;
«10 < 7»; «а = 2».

8 Изобразите в декартовой системе координат области (|х| < 1) и

9. Определите истинность составного высказывания «(А & В) & (С v D)»,
состоящего из простых высказываний: А = «Принтер - устройство выво­
да информации», В = «Процессор - устройство хранения информации»,
С = «Монитор - устройство вывода информации», D = «Клавиатура -
устройство обработки информации».

10.Докажите, используя таблицы истинности, что операция эквива­лентности равносильна логическим выражениям А <-» В = (А & В) v (А & В) и A<->B = (AvB)&(AvB).

11.Докажите, используя таблицы истинности, что логические выра­жения A v В и А & В равносильны.

12.Какие логические функции двух аргументов имеют свои названия?

13.Какое существует число логических функций трех аргументов?

14.Упростите следующие логические выражения:

(AvA)&B; A&(AvB)&(BvB).

15. Приведите примеры из повседневной жизни:

если (не а и не Ь), то (с или d); (а или Ь) тогда и только тогда, когда (с или не d).

16.Проследите на логической схеме триггера, что происходит при поступлении сигнала 1 на вход R.

17.Какое число базовых логических элементов необходимо для хране­ния 512 Мбайт информации?